Druga zasada dynamiki
F = m · a – fundamentalny wzór mechaniki
W poprzedniej lekcji dowiedzieliśmy się, co się dzieje, gdy siły się równoważą – ciało nie zmienia stanu ruchu. Ale co, gdy wypadkowa sił jest różna od zera? Wtedy ciało przyspiesza! Druga zasada dynamiki Newtona mówi nam dokładnie, jak duże będzie to przyspieszenie.
Treść II zasady dynamiki
Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do wypadkowej siły działającej na ciało i odwrotnie proporcjonalne do jego masy.
Kierunek przyspieszenia jest taki sam jak kierunek wypadkowej siły.
Ten wzór możemy przekształcić na trzy sposoby – w zależności od tego, czego szukamy:
Przyspieszenie jest tym większe, im większa jest siła $F$ i im mniejsza jest masa $m$. To dlatego lekki rower rozpędza się łatwiej niż ciężka ciężarówka przy tej samej sile!
Ten wzór przydaje się, gdy znamy siłę i przyspieszenie, a szukamy masy ciała.
Jeśli podwoisz siłę (przy stałej masie) → przyspieszenie wzrośnie 2 razy.
Jeśli podwoisz masę (przy stałej sile) → przyspieszenie spadnie 2 razy.
Jeśli jednocześnie podwoisz siłę i podwoisz masę → przyspieszenie się nie zmieni!
Jednostki
1 N to siła, która nadaje ciału o masie $1\,\text{kg}$ przyspieszenie $1\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. To w przybliżeniu siła, jaką Ziemia przyciąga jabłko o masie 100 g. Jednostkę nazwano na cześć Isaaca Newtona.
Jak siła wpływa na przyspieszenie?
Im większa siła działa na ciało, tym większe przyspieszenie uzyskuje. Ale im cięższe ciało (większa masa), tym trudniej je rozpędzić – przyspieszenie jest mniejsze.
Przykłady obliczeniowe
Na ciało o masie $m = 5\,\text{kg}$ działa siła $F = 20\,\text{N}$. Jakie przyspieszenie uzyska ciało?
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na przyspieszenie:
$$a = \frac{F}{m} = \frac{20\,\text{N}}{5\,\text{kg}} = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$
Odpowiedź: Ciało uzyska przyspieszenie $a = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
Samochód o masie $m = 1000\,\text{kg}$ przyspiesza z przyspieszeniem $a = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Jaka siła napędza samochód?
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru podstawowego:
$$F = m \cdot a = 1000\,\text{kg} \cdot 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 2000\,\text{N} = 2\,\text{kN}$$
Odpowiedź: Siła napędowa wynosi $F = 2000\,\text{N}$ (czyli $2\,\text{kN}$).
Siła $F = 600\,\text{N}$ nadaje ciału przyspieszenie $a = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Jaka jest masa ciała?
Rozwiązanie:
Przekształcamy wzór $F = m \cdot a$ dzieląc obie strony przez $a$:
$$m = \frac{F}{a} = \frac{600\,\text{N}}{3\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 200\,\text{kg}$$
Odpowiedź: Masa ciała wynosi $m = 200\,\text{kg}$.
Na wózek o masie $m = 12\,\text{kg}$ działają dwie siły wzdłuż jednej prostej: $F_1 = 50\,\text{N}$ w prawo i $F_2 = 20\,\text{N}$ w lewo. Oblicz przyspieszenie wózka.
Rozwiązanie:
Krok 1: Obliczamy siłę wypadkową:
$$F_{wyp} = F_1 - F_2 = 50\,\text{N} - 20\,\text{N} = 30\,\text{N}$$
Krok 2: Obliczamy przyspieszenie:
$$a = \frac{F_{wyp}}{m} = \frac{30\,\text{N}}{12\,\text{kg}} = 2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$
Odpowiedź: Wózek przyspiesza w prawo z przyspieszeniem $a = 2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
II zasada dynamiki jest wektorowa – przyspieszenie ma ten sam kierunek i zwrot co wypadkowa siła. Jeśli pchasz wózek w prawo, to przyspiesza w prawo. Jeśli hamuje (siła tarcia skierowana przeciwnie do ruchu), to zwalnia – przyspieszenie jest ujemne (opóźnienie).
Siła ciężkości jako szczególny przypadek
Szczególnym przypadkiem II zasady jest siła ciężkości (ciężar):
$$F_g = m \cdot g$$
gdzie $g \approx 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ to przyspieszenie ziemskie.
Ciało o masie $m = 1\,\text{kg}$ jest przyciągane przez Ziemię siłą:
$$F_g = 1\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 10\,\text{N}$$
Stąd potocznie mówimy, że coś „waży 1 kg”, choć fizycznie ciężar to siła wyrażona w niutonach.
Oblicz ciężar plecaka o masie $m = 8\,\text{kg}$. Przyjmij $g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
Rozwiązanie:
$$F_g = m \cdot g = 8\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 80\,\text{N}$$
Odpowiedź: Plecak jest przyciągany przez Ziemię siłą $F_g = 80\,\text{N}$.
📝 Sprawdź wiedzę
$$a = \frac{F}{m} = \frac{20\,\text{N}}{4\,\text{kg}} = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ Odpowiedź B.
$$F = m \cdot a = 50\,\text{kg} \cdot 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 150\,\text{N}$$ Odpowiedź C.
$$F = m_A \cdot a_A = 10\,\text{kg} \cdot 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 60\,\text{N}$$ Krok 2: Ta sama siła działa na wózek B:
$$a_B = \frac{F}{m_B} = \frac{60\,\text{N}}{30\,\text{kg}} = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ Trzykrotnie większa masa → trzykrotnie mniejsze przyspieszenie. Odpowiedź A.
$$1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ Nazwana na cześć Isaaca Newtona.
$$F_{wyp} = F_1 - F_2 = 40\,\text{N} - 16\,\text{N} = 24\,\text{N}\;\text{(w prawo)}$$ Krok 2: Przyspieszenie:
$$a = \frac{F_{wyp}}{m} = \frac{24\,\text{N}}{8\,\text{kg}} = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\;\text{(w prawo)}$$ Odpowiedź A.
$$F_{napęd} - F_{oporu} = 0$$ $$F_{napęd} = F_{oporu} = 600\,\text{N}$$ Siły się równoważą – samochód nie przyspiesza ani nie zwalnia. Odpowiedź B.
$$m = 500\,\text{g} = \frac{500}{1000}\,\text{kg} = 0{,}5\,\text{kg}$$ Krok 2: Obliczamy siłę ciężkości:
$$F_g = m \cdot g = 0{,}5\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 5\,\text{N}$$ Odpowiedź A. Uwaga na zamianę jednostek – masa musi być w kilogramach!
$$m = \frac{F}{a} = \frac{120\,\text{N}}{4\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 30\,\text{kg}$$ Krok 2: Obliczamy siłę potrzebną do nowego przyspieszenia:
$$F_2 = m \cdot a_2 = 30\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 300\,\text{N}$$ Odpowiedź C. Aby uzyskać 2,5-krotnie większe przyspieszenie, potrzebna jest 2,5-krotnie większa siła (przy tej samej masie).