Swobodne spadanie ciał
Wszystko spada z tym samym przyspieszeniem – g ≈ 10 m/s²
Gdy puszczasz piłkę z ręki, spada na ziemię. Gdy rzucisz kamień z okna, też spada. A co, gdybyś puścił jednocześnie piłkę do siatkówki i kulkę z żelaza? Arystoteles twierdził, że cięższe ciało spadnie szybciej. Galileusz udowodnił, że się mylił!
Czym jest swobodne spadanie?
Spadanie swobodne to ruch ciała pod wpływem wyłącznie siły ciężkości (grawitacji), bez oporu powietrza. Jest to ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem ziemskim $g$.
W prawdziwym świecie występuje opór powietrza, który spowalnia spadające ciała (dlatego piórko spada wolniej niż kamień). Ale w próżni (bez powietrza) wszystkie ciała spadają z dokładnie tym samym przyspieszeniem – niezależnie od masy, kształtu czy rozmiaru!
W 1971 roku astronauta David Scott przeprowadził słynny eksperyment na Księżycu (misja Apollo 15): upuścił jednocześnie młotek i piórko sokole. Na Księżycu nie ma atmosfery – oba przedmioty upadły dokładnie w tym samym momencie! Galileusz miał rację.
Przyspieszenie ziemskie g
Wartość $g$ oznacza, że prędkość spadającego ciała rośnie o $10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ co sekundę. Po 1 sekundzie ciało leci z prędkością $10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$, po 2 sekundach – $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$, po 3 sekundach – $30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ itd.
Wzory dla swobodnego spadania
Ponieważ spadanie swobodne to ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem $g$ i prędkością początkową $v_0 = 0$, korzystamy z następujących wzorów:
Jeśli znamy wysokość $h$, a szukamy czasu lub prędkości, przekształcamy:
Przykłady obliczeniowe
Ciało spada swobodnie. Oblicz jego prędkość po $t = 3\,\text{s}$. Przyjmij $g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
Rozwiązanie:
$$v = g \cdot t = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3\,\text{s} = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$$
Odpowiedź: Po 3 sekundach ciało leci z prędkością $v = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ (czyli $108\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$!).
Z jakiej wysokości spadło ciało, jeśli spadanie trwało $t = 4\,\text{s}$?
Rozwiązanie:
$$h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 = 80\,\text{m}$$
Odpowiedź: Ciało spadło z wysokości $h = 80\,\text{m}$.
Kamień spada z klifu o wysokości $h = 45\,\text{m}$. Oblicz czas spadania.
Rozwiązanie:
Przekształcamy wzór $h = \frac{1}{2}gt^2$ – dzielimy obie strony przez $\frac{1}{2}g$:
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{10}} = \sqrt{\frac{90}{10}} = \sqrt{9} = 3\,\text{s}$$
Odpowiedź: Kamień spadał przez $t = 3\,\text{s}$.
Kamień spada z klifu o wysokości $h = 80\,\text{m}$. Z jaką prędkością uderzy w ziemię?
Rozwiązanie (sposób 1 – przez czas):
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 80}{10}} = \sqrt{16} = 4\,\text{s}$$
$$v = g \cdot t = 10 \cdot 4 = 40\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$$
Rozwiązanie (sposób 2 – bez czasu):
$$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 80} = \sqrt{1600} = 40\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$$
Odpowiedź: Kamień uderzy w ziemię z prędkością $v = 40\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ (to $144\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$!).
Przyspieszenie na innych ciałach niebieskich
Wartość $g$ zależy od masy i promienia planety. Na Księżycu $g$ jest ok. 6 razy mniejsze niż na Ziemi – dlatego astronauci tak wysoko skaczą!
- Ziemia: $g \approx 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$
- Księżyc: $g \approx 1{,}62\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$
- Mars: $g \approx 3{,}72\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$
- Jowisz: $g \approx 24{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$
Astronauta upuszcza narzędzie z wysokości $h = 5\,\text{m}$ na Księżycu ($g_{Ks} = 1{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz czas spadania.
Rozwiązanie:
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g_{Ks}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{1{,}6}} = \sqrt{\frac{10}{1{,}6}} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\,\text{s}$$
Odpowiedź: Na Księżycu narzędzie spadałoby $2{,}5\,\text{s}$. Na Ziemi z tej samej wysokości: $t = \sqrt{\frac{10}{10}} = 1\,\text{s}$ – ponad dwa razy szybciej!
Spadanie swobodne to model idealny – bez oporu powietrza. W rzeczywistości opór powietrza spowalnia ciała o dużej powierzchni (np. piórko, spadochron). Dlatego spadochroniarz osiąga „prędkość graniczną" i nie przyspiesza dalej – opór powietrza równoważy ciężar.
📝 Sprawdź wiedzę
$$v = g \cdot t = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3\,\text{s} = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$$ Odpowiedź C.
$$h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20\,\text{m}$$ Odpowiedź A.
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{10}} = \sqrt{\frac{90}{10}} = \sqrt{9} = 3\,\text{s}$$ Odpowiedź A.
$$h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25 = 125\,\text{m}$$ Odpowiedź C.
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 80}{10}} = \sqrt{16} = 4\,\text{s}$$ $$v = g \cdot t = 10 \cdot 4 = 40\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$$ Sposób 2 (bez czasu):
$$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 80} = \sqrt{1600} = 40\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$$ Odpowiedź A. To aż $144\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$!
$$h_A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_A^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2 = 20\,\text{m}$$ $$h_B = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_B^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4^2 = 80\,\text{m}$$ Stosunek dróg:
$$\frac{h_B}{h_A} = \frac{80}{20} = 4$$ Odpowiedź B. Ciało B przebyło 4 razy większą drogę. Uwaga: czas wzrósł 2 razy, ale droga aż 4 razy – bo $h \sim t^2$ (zależność kwadratowa)!