ZADANIA RÓŻNE
Wzory i zadania obliczeniowe z optyki
W tej lekcji podsumujemy najważniejsze wzory z całego działu optyki i przećwiczymy je w praktyce, rozwiązując zestaw zadań obliczeniowych. Zanim przejdziesz do zadań, przypomnij sobie kluczowe zależności.
Najważniejsze wzory
\( x \) – odległość przedmiotu
\( y \) – odległość obrazu
\( h_1 \) – wysokość przedmiotu
\( h_2 \) – wysokość obrazu
Uwaga: \( f \) musi być wyrażone w metrach!
• \( f > 0 \) dla zwierciadeł wklęsłych i soczewek skupiających.
• \( f < 0 \) dla zwierciadeł wypukłych i soczewek rozpraszających.
• \( y > 0 \) dla obrazów rzeczywistych (powstających po drugiej stronie soczewki lub przed zwierciadłem).
• \( y < 0 \) dla obrazów pozornych. Wtedy do wzoru na powiększenie bierzemy wartość bezwzględną \( |y| \).
📝 Zestaw zadań
Spróbuj rozwiązać każde zadanie samodzielnie na kartce, a następnie kliknij przycisk, aby sprawdzić krok po kroku poprawne rozwiązanie.
a) Oblicz \( f \).
b) Oblicz \( R \).
c) Napisz, czym jest \( F \) (punkt czy odległość) i czym jest \( f \).
Punkt \( O \) to środek krzywizny zwierciadła, a \( A \) to jego wierzchołek. Odległość \( AO \) to promień krzywizny.
b) Promień krzywizny \( R = AO = 30 \text{ cm} \).
a) Ogniskowa \( f \) to połowa promienia krzywizny:
\[ f = \frac{R}{2} = \frac{30 \text{ cm}}{2} = 15 \text{ cm} \]
c) \( F \) (wielka litera) to ognisko – konkretny punkt na osi optycznej. \( f \) (mała litera) to ogniskowa – odległość od wierzchołka zwierciadła do ogniska.
a) Oblicz \( f \).
b) Oblicz \( y \).
a) \( f = \frac{R}{2} = \frac{72 \text{ cm}}{2} = 36 \text{ cm} \).
b) Korzystamy z równania zwierciadła:
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \]
\[ \frac{1}{36} = \frac{1}{54} + \frac{1}{y} \]
\[ \frac{1}{y} = \frac{1}{36} - \frac{1}{54} \]
Sprowadzamy do wspólnego mianownika (108):
\[ \frac{1}{y} = \frac{3}{108} - \frac{2}{108} = \frac{1}{108} \]
\[ y = 108 \text{ cm} \]
a) Oblicz \( y \).
b) Oblicz powiększenie \( p \).
c) Oblicz wysokość obrazu \( h_2 \).
a) \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \] \[ \frac{1}{16} = \frac{1}{40} + \frac{1}{y} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{16} - \frac{1}{40} = \frac{5}{80} - \frac{2}{80} = \frac{3}{80} \] \[ y = \frac{80}{3} \text{ cm} \approx 26,67 \text{ cm} \]
b) \[ p = \frac{y}{x} \] \[ p = \frac{\frac{80}{3}}{40} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3} \approx 0,67 \]
c) \[ p = \frac{h_2}{h_1} \implies h_2 = p \cdot h_1 \] \[ h_2 = \frac{2}{3} \cdot 5 \text{ cm} = \frac{10}{3} \text{ cm} \approx 3,33 \text{ cm} \]
a) Oblicz \( f \).
b) Oblicz \( R \).
c) Oblicz \( p \).
a) \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \] \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{24} + \frac{1}{48} = \frac{2}{48} + \frac{1}{48} = \frac{3}{48} \] \[ f = \frac{48}{3} = 16 \text{ cm} \]
b) \[ R = 2 \cdot f = 2 \cdot 16 \text{ cm} = 32 \text{ cm} \]
c) \[ p = \frac{y}{x} = \frac{48}{24} = 2 \]
a) Oblicz powiększenie \( p \).
b) Wyznacz \( x \) i \( y \).
a) Skoro obraz jest 3 razy większy, to powiększenie \( p = 3 \).
b) Obraz powstaje na ekranie, więc jest rzeczywisty (\( y > 0 \)).
Z definicji powiększenia:
\[ p = \frac{y}{x} \implies 3 = \frac{y}{x} \implies y = 3x \]
Podstawiamy do równania zwierciadła:
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \]
\[ \frac{1}{12} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3x} \]
\[ \frac{1}{12} = \frac{3}{3x} + \frac{1}{3x} = \frac{4}{3x} \]
Mnożymy na krzyż:
\[ 3x = 48 \implies x = 16 \text{ cm} \]
Skoro \( y = 3x \), to \( y = 3 \cdot 16 = 48 \text{ cm} \).
a) Oblicz \( f \) w cm.
b) Oblicz \( y \).
c) Oblicz \( p \) i \( h_2 \).
a) \[ Z = \frac{1}{f} \implies f = \frac{1}{Z} \] \[ f = \frac{1}{4,0} \text{ m} = 0,25 \text{ m} = 25 \text{ cm} \]
b) \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \] \[ \frac{1}{25} = \frac{1}{15} + \frac{1}{y} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{25} - \frac{1}{15} = \frac{3}{75} - \frac{5}{75} = -\frac{2}{75} \] \[ y = -\frac{75}{2} = -37,5 \text{ cm} \] (minus oznacza, że obraz jest pozorny).
c) \[ p = \frac{|y|}{x} = \frac{37,5}{15} = 2,5 \] \[ h_2 = p \cdot h_1 = 2,5 \cdot 2,5 \text{ cm} = 6,25 \text{ cm} \]
a) Oblicz ogniskową \( f \) (w metrach i cm).
b) Oblicz \( y \).
a) \[ f = \frac{1}{Z} = \frac{1}{-2,5} \text{ m} = -0,4 \text{ m} = -40 \text{ cm} \]
b) \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \] \[ -\frac{1}{40} = \frac{1}{30} + \frac{1}{y} \] \[ \frac{1}{y} = -\frac{1}{40} - \frac{1}{30} = -\frac{3}{120} - \frac{4}{120} = -\frac{7}{120} \] \[ y = -\frac{120}{7} \text{ cm} \approx -17,14 \text{ cm} \] (obraz pozorny).
a) Oblicz \( f \).
b) Oblicz moc soczewki w dioptriach.
c) Oblicz \( p \).
a) \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \] \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{20} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} + \frac{1}{60} = \frac{4}{60} \] \[ f = \frac{60}{4} = 15 \text{ cm} \]
b) Aby obliczyć moc \( Z \), ogniskowa musi być w metrach: \( f = 0,15 \text{ m} \).
\[ Z = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,15} = \frac{100}{15} \text{ D} \approx +6,67 \text{ D} \]
c) \[ p = \frac{y}{x} = \frac{60}{20} = 3 \]
a) Oblicz moc układu \( Z \).
b) Oblicz ogniskową układu \( f \) w cm.
c) Oblicz \( y \).
a) Moc układu soczewek to suma ich mocy:
\[ Z = Z_1 + Z_2 = 5 \text{ D} + (-1,5 \text{ D}) = +3,5 \text{ D} \]
b) \[ f = \frac{1}{Z} = \frac{1}{3,5} \text{ m} = \frac{10}{35} \text{ m} \approx 0,2857 \text{ m} = 28,57 \text{ cm} \]
c) Najwygodniej użyć wzoru w postaci: \( Z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) (pamiętając, że \( x \) i \( y \) muszą być w metrach!).
\( x = 40 \text{ cm} = 0,4 \text{ m} \).
\[ 3,5 = \frac{1}{0,4} + \frac{1}{y} \]
\[ 3,5 = 2,5 + \frac{1}{y} \]
\[ \frac{1}{y} = 3,5 - 2,5 = 1,0 \]
\[ y = 1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \]
a) Oblicz \( f \) (w metrach i cm).
b) Oblicz \( y \).
c) Oblicz \( p \) i \( h_2 \).
a) \[ f = \frac{R}{2} = \frac{1,2 \text{ m}}{2} = 0,6 \text{ m} = 60 \text{ cm} \]
b) Zamieniamy \( x \) na centymetry: \( x = 45 \text{ cm} \).
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \]
\[ \frac{1}{60} = \frac{1}{45} + \frac{1}{y} \]
\[ \frac{1}{y} = \frac{1}{60} - \frac{1}{45} = \frac{3}{180} - \frac{4}{180} = -\frac{1}{180} \]
\[ y = -180 \text{ cm} = -1,8 \text{ m} \]
(obraz pozorny).
c) \[ p = \frac{|y|}{x} = \frac{|-180|}{45} = 4 \] \[ h_2 = p \cdot h_1 = 4 \cdot 4 \text{ cm} = 16 \text{ cm} \]